練習問題

1. 2次元ミンコフスキー時空$(x,ct)$における微小世界間隔の2乗$ds^2$を 座標の無限小変位$dx$,$c dt$を用いて表せ。ただし$c$を光速とする。

2. 2次元ミンコフスキー時空においてベクトル$(x,ct)$と$(x',ct')$のスカラー積を求めよ。

3. ミンコフスキー時空$(x,ct)$中で擬極座標$(s,\psi)$

$$x = s \cosh\psi$$

$$ct = s \sinh \psi$$ (3.33)

をとる。

A. このとき $s^2=-c^2 t^2+x^2$を示せ。

B. ベクトル$(x,ct)$のノルムはローレンツ変換 $(x',ct')^T=R(x,ct)^T$

$$R = \left( \begin{array}{cc} \cosh \psi' & -\sinh \psi' \\ -\sinh \psi'& \cosh \psi' \\ \end{array} \right)$$ (3.34)

の下で不変であることを証明せよ。

C. ベクトル $(s \cosh \psi ,s \sinh \psi)$と $(s' \cosh \psi',s' \sinh \psi')$ のスカラー積は$s s'\cosh \xi$とかけることを示せ。 ただし、 $s^2=-c^2 t^2+x^2,s'^2=-c^2 t'^2+x'^2$ とする。$\xi$は$\psi$、$\psi'$の関数とする。

4. 曲率半径$R$の2次元球面の計量は $dl^2=R^2 (d\theta ^2+⁡\sin^2\theta d \phi^2)$ で表される。これを以下のようにして求めよう。まず、3次元ユークリッド空間に対し球座標 $(r,\theta,\phi)$をとる。デカルト直交座標と球座標の関係は

$$x = r\sin\theta \cos\phi$$

$$y = r\sin \theta \sin \phi$$

$$z = r \cos \theta$$ (3.35)

であるから、3次元ユークリッド空間における微小間隔の2乗

$$dl^2=dx^2+dy^2+dz^2$$ (3.36)

を球座標 $(r,\theta,\phi)$ で表すと全微分$dx,dy,dz$をそれぞれ $(r,\theta,\phi)$の偏微分で 表すことにより、[         ]となる。さて、 球面は$r=R$一定として求められるので、 上の式で$dr=0,r=R$とおけばよい。 すると $dl^2=R^2 (d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)$ が得られる。

5. 4.と同様にして、曲率半径$R$の3次元球面の計量を求めよ。 ただし、以下のような超球座標 $(r,\psi,\theta,\phi)$をとること。

$$x = r\sin \psi \sin\theta \cos\phi$$

$$y = r \sin \psi \sin \theta \sin \phi$$

$$z = r \sin \psi \cos \theta$$

$$w = r \cos \psi$$ (3.37)

6. 曲率半径$R$の球面の計量は $dl^2=R^2 (d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)$で表される。 北極点$(\theta=0)$から測地的距離$R\theta=$一定の点を結んで得られる円の円周の長さを 求めよ。また、その場合の円周率を$\theta$の関数として求めよ。


7. 曲率半径$R$の双曲面の計量は $dl^2=R^2 (d\psi^2+\sinh^2\psi d\phi^2)$で表される。 「北極点」$(\psi=0)$から測地的距離$R \psi=$一定の点を結んで得られる円の円 周の長さを求めよ。また、その場合の円周率を$\psi$の関数として求めよ。

8. 赤方偏移パラメータ$z=3$の天体に時計Cがおいてあるとする。 Cを地上の望遠鏡でのぞいたとき、地上で1秒進む間にCは何秒進むように観測さ れるか？ただし、Cは宇宙膨張と共に運動しているとする。